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【知识点】
(一)代数式的含义
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数和字母也是代数式。
例如:ax+2b,-2/3,b^2/26,√a+√2等。
(二)性质
1.单独一个数或一个字母也是代数式,如-3,a。
2.代数式中只能有运算符号,不应含有等于号(=、≡)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈,也就是说,等式或不等式不是代数式,但代数式中可以含有括号。可以有绝对值。例如:|x|,|-2.25| 等。
3.代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义,即在实际问题中,字母表示的数要符合实际问题。
(三)分类
1.有理式
有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).
①单项式:没有加减运算的整式。
单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数。
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
②多项式:个单项式的代数;
多项式中每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
齐次多项式:各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式:次数大于零的有理系数的多项式,不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时,称为有理数范围内不可约多项式。实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式,复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式:在多元多项式中,如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同,则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
同类项:多项式中含有相同的字母,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2.无理式:含有字母的根式或字母的非整数次乘方的代数式叫做无理式。
(四)代数式的书写
1.两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时,乘号都可以省略不写.如:“x与y的积”可以写成“xy”:“a与2的积”应写成“2a”,“m、n的和的2倍”应写成“2(m+n)”。
2.字母与数字相乘或数字与括号相乘时,乘号可省略不写,但数字必须写在前面.例如“x×2”要写成”2x”,不能写成“x2”;“长、宽分别为a、b的长方形的周长”要写成“2(a+b)”,不能写成“(a+b)2”。
3.代数式中不能出现除号,相除关系要写成分数的形式
4.数字与数字相乘时,乘号(也可以写作 · )仍应保留不能省略,或直接计算出结果.例如“3×7xy”不能写成“37xy”,最好写成“21xy”。
在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以字母含义为代表的代数式。代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
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